Изокванты и изоклины ПФ
Если вновь обратиться к методу аналогии, то, как и в случае модели поведения потребителя, в теории моделирования производственных процессов можно выделить понятие кривой безразличия производителя. Этому понятию может соответствовать множество наборов производственных факторов, которым соответствует одинаковое количество произведенного продукта, то есть:
Множество точек, удовлетворяющих равенству (4.1), называют изоквантой ПФ (iso – постоянный, quantity – количество). Каждая изокванта соответствует различному уровню производства продукта (y ), причем изокванты, более удаленные от нулевой точки (точки бездействия) соответствуют более высоким значениям y . Изокванты также обладают теми же свойствами, что и кривые безразличия (параллельны друг другу, не пересекаются с осями абсцисс и ординат и др.) Для двухфакторной ПФ изокванта по сути будет выражать функциональную зависимость затрат капитала от затрат труда при данном уровне произведенного продукта:
Производитель, варьируя технологии, может выбирать разные сочетания факторов производства и поддерживать при этом постоянный уровень производства. Согласно изокванте, увеличение одного фактора приведет к уменьшению другого. Следовательно, должна существовать характеристика, позволяющая оценить компенсацию одного фактора другим. Такой характеристикой является предельная норма замещения (аналогично такой же характеристике в теории полезности потребителя):
, (4.2)
которая показывает, какое увеличение фактора j скомпенсирует снижение фактора i на единицу, чтобы уровень производства продукта остался прежним (замещение фактора i фактором j ).
Соответственно обратное замещение (фактора j фактором i) будет характеризоваться обратной величиной: 
.
Согласно взаимосвязи коэффициента эластичности и предельного продукта (4.1) предельную норму замещения можно выразить как:
(4.3)
Согласно (4.1) для двухфакторной ПФ имеем:
- предельная норма замещения капитала трудом;
- предельная норма замещения труда капиталом.
Согласно (4.3) для двухфакторной модели также предельную норму замещения можно выразить через коэффициенты эластичности:
, где к
– фондовооруженность.
Наряду с изоквантами важную роль в ПФ играют изоклины – множества точек экономической области, у которых предельная норма замещения i -го фактора j -м постоянна:
Используя понятие изоклины (изоклинали) можно преобразовать произвольный набор факторов (L,K) в набор (Y,MRS) , то есть решением системы уравнений:
будет являться:
Однородная ПФ с постоянной предельной нормой замещения труда капиталом и степенью однородности δ=1
относится к классу линейных функций, то есть 
.
Таким образом, для двухфакторной ПФ каждая точка изокванты характеризуется затратами капитала и труда или предельной нормой замещения труда капиталом MRS LK и фондовооруженностью k . Если обратиться к геометрическому представлению, то MRS LK равна угловому коэффициенту касательной к данной точке изокванты, а величина k – угловому коэффициенту луча, выходящего из начала координат и проходящего через заданную точку изокванты (см. Рис. 4.2 ).
Рис 4.2
Например, в точке В
значение затрат труда больше, чем в точке А
, следовательно, значение MRS LK
в точке В
меньше, чем в точке А
. Соответственно точка В
будет соответствовать меньшему значению фондовооруженности, чем в точке А
.
Таким образом, очевидной становится связь между изменением фондовооруженности и предельной нормой замещения труда капитала, то есть мы опять приходим к понятию эластичности, а именно эластичности замещения труда капиталом, которая показывает, насколько процентов изменится фондовооруженность труда при изменении предельной нормы замещения труда капиталом на один процент:
(4.4)
Графически можно также показать, что с ростом кривизны изокванты эластичность E σ
уменьшается (см. Рис. 4.3
).
Рис 4.3
Отметим, что в обоих случаях в точках А и В значения MRS LK остаются одинаковыми, а значение фондовооруженности в точке А выше, чем в точке В . Отсюда вытекает еще одно важное свойство: для однородной ПФ эластичность замещения труда капиталом зависит лишь от фондовооруженности и остается постоянной вдоль лучей, выходящих из нулевой точки.
Выразим связь между MRS LK и k при постоянной эластичности E σ . Согласно (4.4) имеем:
(4.5)
Предполагая зависимость MRS LK (k) , можно записать (4.5) в виде обычного дифференциального уравнения:
(4.6)
Интегрирование (4.6) дает:
или после преобразования:
, где
Следовательно, условие постоянства эластичности замещения труда капиталом дает степенную зависимость между величинами MRS LK и k . Соответственно, случай единичной эластичности будет соответствовать линейной связи между указанными величинами:
Введение понятия постоянной эластичности замещения привело к общей форме однородной ПФ, для которой эластичность замещения факторов постоянна. Такие ПФ называют ПФ класса CES (Constant Elasticity of Substitution ). Впервые функции этого класса были предложены Эрроу Кеннетом и Солоу Робертом в 1961 году. Функции этого класса предполагают, что замещение труда капиталом возможно только в некоторых пределах и не существует технологий, которые позволяли бы произвести заданное количество продукта при затратах факторов производства ниже определенных критических значений. (Геометрически это означает, что можно построить асимптоты к изокванте, и они будут соответствовать минимально возможным значениями труда и капитала. Возможен вывод математических соотношений асимптот, в данном изложении этот материал мы не будем приводить.)
Многие ПФ являются по сути частными или предельными случаями функций CES, основные характеристики которых приведены в Табл 4.1 .
Табл 4.1
Понятие производственной системы и производственного процесса. Технологический процесс и технологическое множество
Основная задача любого производственного процесса - создание добавленной стоимости и нового экономического продукта, который затем участвует в последующих процессах обмена и потребления. Известно, что производственный процесс является условием возникновения процессов потребления с одной стороны, а с другой, прекращение потребления приводит к прекращению производственного процесса. Следовательно, развитие производственных процессов определяется экономическим поведением потребителя. Эту взаимосвязь можно представить в виде следующей концептуальной модели по функционирования экономического объекта: 
Центральным звеном является модель производственного процесса, которая связывает входные переменные производственной системы с выходными; модель рынка ресурсов является необходимым условием функционирования производственного процесса; модель рынка товаров – необходимое условие существования и возобновления производственного процесса; модель принятия решений – выбор наилучшего в некотором смысле решения товаропроизводителя об объемах выпуска на основе информации о рыночной конъюнктуре и производственных возможностях.
Современные представления в области моделирования производственных процессов базируются на теориях экономистов -неоклассиков , которые предложили модель человека «экономического», хозяйственное поведение которого определяется функцией полезности.
Таким образом, производственный процесс – это процесс создания добавленной стоимости путем целенаправленного преобразования одного набора товаров в другой. Экономическая система, в которой организован и протекает производственный процесс, называется производственной системой или производством. Цель любой производственной системы – желаемое конкретное конечное будущее состояние или результат хозяйственной деятельности. С точки зрения неоклассической экономической теории целями производителя являются максимизация дохода или прибыли, или минимизация издержек. Потребляемые товары в процессе производства называют производственными факторами , полученные товары в результате производственного процесса – продуктами производства .
С этой точки зрения любая производственная система со сложной внутренней структурой представляет собой «черный ящик», при этом известной является информация о производственных факторах (входная информация) и продукте производства (результат), а неизвестная внутренняя структура описывается с помощью некоторой производственной функции. При этом надо помнить о том, что модель «черного ящика» полезна для экономиста, но бесполезна для менеджера, реформирующего организационную структуру и процессы внутри системы.
Помимо понятия производственных функций для моделирования производственных процессов важны такие понятия, как концепция эластичности факторов производства, предельной нормы замещения факторов производства, так как ресурсы в производственной системе могут выступать в роли товаров-субститутов . Кроме того, в реальном производственном процессе невозможно производить продукт при полном отсутствии какого-либо фактора производства, то есть можно говорить о взаимодополняемости факторов производства, то есть об их комплементарности.
Технология - это технический способ преобразования факторов производства в продукты. Существует огромное число доступных технологий, из которых производители выбирают самые эффективные. Технология задает отношение между элементом u из числа факторов производства и элементом v из области продуктов. Технологический процесс – это совокупность отношений между элементами u i и v j (), поэтому он является простейшей моделью производственного процесса. В свою очередь, совокупность технологических процессов образует технологическое множество . Технологические множества обладают следующими свойствами:
1. невозможность существования «рога изобилия», то есть нулевой технологический процесс (без затрат факторов производства) принадлежит технологическому множеству и означает бездействие;
2. технологическое множество выпукло, то есть технологические процессы можно комбинировать (некоторый технологический процесс может являться выпуклой комбинацией других);
3. технологическое множество ограничено сверху, что связано с ограниченностью (исчерпаемостью) ресурсов (факторов производства);
4. технологическое множество замкнуто, то есть имеет границы.
Эффективные технологические процессы описываются точками, лежащими на эффективной границе выпуклого технологического множества.
Метод технологических множеств позволяет описать многономенклатурное производство, так как возможен строгий переход от технологических множеств к производственным функциям путем агрегирования факторов производства и продуктов.
В заключение отметим, что существует два альтернативных подхода к решению задачи оптимального управления производственными процессами. Первый подход рассматривает задачу максимизации производства продукта при фиксированных бюджетных ограничениях. Решение этой задачи основано на анализе производственной функции производственной системы с учетом рыночной стоимости труда и капитала и размера производственного бюджета. Второй подход решает задачу минимизации производственных издержек при заданном уровне производства продукта. Эта задача решается с использованием функции затрат, которая может быть вычислена по имеющейся производственной функции. Эти два подхода приводят к одинаковому результату при решении оптимизационных задач. (Вспомнить двойственность! ).
Министерство образования и науки Российской Федерации
Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого
Реферат по дисциплине:
Менеджмент
Выполнила студентка гр.6061 зо
Макарова С.В.
Принял Сучков А.В.
Великий Новгород
1. ПРОИЗВОДСТВЕННЫЙ ПРОЦЕСС И ЕГО ЭЛЕМЕНТЫ.
Основу
производственно-хозяйственной
деятельности предприятия составляет
производственный процесс, который
представляет собой совокупность
взаимосвязанных процессов труда и
естественных процессов, направленных
на изготовление определенных видов
продукции.
Организация производственного
процесса состоит в объединении людей,
орудий и предметов труда в единый процесс
производства материальных благ, а также
в обеспечении рационального сочетания
в пространстве и во времени основных,
вспомогательных и обслуживающих
процессов.
Производственные
процессы на предприятиях детализируются
по содержанию (процесс, стадия, операция,
элемент) и месту осуществления
(предприятие, передел, цех, отделение,
участок, агрегат).
Множество
производственных процессов, происходящих
на предприятии, представляет собой
совокупный производственный процесс.
Процесс производства каждого отдельного
вида продукции предприятия называют
частным производственным процессом
.
В свою очередь в частном производственном
процессе могут быть выделены частичные
производственные процессы как законченные
и технологически обособленные элементы
частного производственного процесса,
не являющиеся первичными элементами
производственного процесса (он, как
правило, осуществляется рабочими разных
специальностей с использованием
оборудования различного назначения).
В качестве первичного элемента
производственного процесса следует
рассматривать технологическую операцию
- технологически однородную часть
производственного процесса, выполняемую
на одном рабочем месте. Обособленные в
технологическом отношении частичные
процессы представляют собой стадии
производственного процесса.
Частичные
производственные процессы могут
классифицироваться по нескольким
признакам:
По целевому назначению;
Характеру протекания во времени;
Способу воздействия на предмет труда;
Характеру
применяемого труда.
По целевому
назначению выделяют процессы основные,
вспомогательные и обслуживающие.
Основные
производственные процессы
- процессы превращения сырья и материалов
в готовую продукцию, являющуюся основной,
профильной
продукцией для данного
предприятия. Эти процессы определяются
технологией изготовления данного вида
продукции (подготовка сырья, химический
синтез, смешение сырья, фасовка и упаковка
продукции).
Вспомогательные
производственные процессы направлены
на изготовление продукции или выполнение
услуг для обеспечения нормального
протекания основных производственных
процессов. Такие производственные
процессы имеют собственные предметы
труда, отличные от предметов труда
основных производственных процессов.
Как правило, осуществляются они
параллельно с основными производственными
процессами (ремонтное, тарное,
инструментальное хозяйство).
Обслуживающие
производственные
процессы обеспечивают создание нормальных
условий для протекания основных и
вспомогательных производственных
процессов. Они не имеют собственного
предмета труда и протекают, как правило,
последовательно с основными и
вспомогательными процессами, перемежаются
с ними (транспортировка сырья и готовой
продукции, их хранение, контроль
качества).
Основные производственные
процессы в основных цехах (участках)
предприятия и образуют его основное
производство. Вспомогательные и
обслуживающие производственные процессы
соответственно во вспомогательных и
обслуживающих цехах - образуют
вспомогательное хозяйство.
Различная
роль производственных процессов в
совокупном производственном процессе
определяет различия в механизмах
управления различными видами
производственных подразделений. В то
же время классификация частичных
производственных процессов по целевому
назначению может проводиться только
применительно к конкретному частному
процессу.
Объединение основных,
вспомогательных, обслуживающих и других
процессов в определенной последовательности
образует структуру производственного
процесса.
Основной производственный
процесс представляет процесс и
производства основной продукции, который
включает естественные процессы,
технологический и рабочий процессы, а
также межоперационное пролеживание.
Естественный процесс - процесс, который
приводит к изменению свойств и состава
предмета труда, но протекает без участия
человека (например, при изготовлении
некоторых видов химической продукции).
Естественные производственные
процессы можно рассматривать как
необходимые технологические перерывы
между оп рациями (остывание, сушка,
вызревание и т.д.)
Технологический
процесс представляет собой совокупность
процессов, в результате которых происходят
все необходимые изменения в предмете
труда, т. е. он превращается в готовую
продукцию.
Вспомогательные операции
способствуют выполнению основных
операций (транспортировка, контроль,
сортировка продукции и т. д.).
Рабочий
процесс - совокупность всех трудовых
процессов (основных и вспомогательных
операций).
Структура производственного
процесса изменяется под воздействием
технологии применяемого оборудования,
разделения труда, организации производства
и др.
Межоперационное пролеживание
- перерывы, предусмотренные технологическим
процессом.
По характеру протекания
во времени выделяют непрерывные
и
периодические
производственные
процессы. В непрерывных процессах нет
перерывов в процессе производства.
Выполнение операций по обслуживанию
производства происходит одновременно
или параллельно с основными операциями.
В периодических процессах выполнение
основных и обслуживающих операций
происходит последовательно, в силу чего
основной производственный процесс
оказывается прерванным во времени.
По способу воздействия на предмет
труда выделяют механические, физические,
химические, биологические
и другие
виды производственных процессов.
По характеру применяемого труда
производственные процессы классифицируются
на автоматизированные, механизированные
и ручные
.
Принципы организации производственного процесса представляют собой исходные положения, на основекоторых осуществляются построение, функционирование и развитие производственного процесса.
Существуют
следующие принципы организации
производственного процесса:
дифференциация - разделение производственного
процесса на отдельные части (процессы,
операции, стадии) и их закрепление за
соответствующими подразделениями
предприятия;
комбинирование - объединение всех или
части разнохарактерных процессов по
изготовлению определенных видов
продукции в пределах одного участка,
цеха или производства;
концентрация - сосредоточение определенных
производственных операций по изготовлению
технологически однородной продукции
или выполнению функционально-однородных
работ на отдельных рабочих местах,
участках, в цехах или производствах
предприятия;
специализация - закрепление за каждым
рабочим местом и каждым подразделением
строго ограниченной номенклатуры работ,
операций, деталей и изделий;
универсализация - изготовление деталей
и изделий широкого ассортимента или
выполнение разнородных производственных
операций на каждом рабочем месте или
производственном подразделении;
пропорциональность - сочетание отдельных
элементов производственного процесса,
которое выражается в их определенном
количественном отношении друг с другом;
параллельность - одновременная
обработка разных деталей одной партии
по данной операции на нескольких рабочих
местах и т. д.;
прямоточность -
осуществление всех стадий и операций
производственного процесса в условиях
кратчайшего пути прохождения предмета
труда от начала до конца;
ритмичность
- повторение через установленные периоды
времени всех отдельных производственных
процессов и единого процесса производства
определенного вида продукции.
Приведенные принципы организации
производства на практике действуют не
изолированно друг от друга, они тесно
переплетаются в каждом производственном
процессе. Принципы организации
производства развиваются неравномерно
- в тот или иной период тот или иной
принцип выдвигается на первый план либо
приобретает второстепенное значение.
Если пространственное сочетание
элементов производственного процесса
и всех его разновидностей реализуется
на основе формирования производственной
структуры предприятия и входящих в него
подразделений, организация производственных
процессов во времени находит выражение
в установлении порядка выполнения
отдельных логистических операций,
рациональном совмещении времени
выполнения различных видов работ,
определении календарно-плановых
нормативов движения предметов труда.
Основой построения эффективной
системы производственной логистики
является производственное расписание,
сформированное исходя из задачи
удовлетворения потребительского спроса
и отвечающего на вопросы: кто, что, где,
когда и в каком количестве будет выпускать
(производить). Производственное расписание
позволяет установить дифференцированные
по каждому структурному производственному
подразделению объемные и временные
характеристики материальных потоков.
Методы, применяемые для составления
производственного расписания, зависят
от типа производства, а также характеристик
спроса и параметров заказов может быть
единичным, мелкосерийным, серийным,
крупносерийным, массовым.
Характеристику
типа производства дополняет характеристика
производственного цикла - это период
времени между моментами начала и
окончания производственного процесса
применительно к конкретной продукции
в рамках логистической системы
(предприятия).
Производственный
цикл состоит из рабочего времени и
времени перерывов при изготовлении
продукции.
В свою очередь, рабочий
период складывается из основного
технологического времени, времени
выполнения транспортных в контрольных
операций и времени комплектации.
Время перерывов подразделяется на время
межоперационных, меж-участковых и других
перерывов.
Длительность производственного
цикла во многом зависит от характеристики
движения материального потока, которое
бывает последовательным, параллельным,
параллельно-последовательным.
Кроме
того, на длительность производственного
цикла влияют также формы технологической
специализации производственных
подразделений, система организации
самих производственных процессов,
прогрессивность применяемой технологии
и уровень унификации выпускаемой
продукции.
Производственный цикл
включает также время ожидания - это
интервал с момента поступления заказа
до момента начала его выполнения, для
минимизации которого важно изначально
определить оптимальную партию изделий
- партия, при которой затраты в расчете
на одно изделие составляют минимальную
величину.
Для решения задачи выбора
оптимальной партии принято считать,
что себестоимость продукции складывается
из прямых затрат на изготовление, затрат
на хранение запасов и затрат на переналадку
оборудования и его простои при смене
партии.
На практике часто оптимальная
партия определяется прямым счетом, но
при формировании логистических систем
более эффективным является применение
методов математического программирования.
Во всех сферах деятельности, но
особенно в производственной логистике,
важнейшее значение имеет система норм
и нормативов. В нее включаются как
укрупненные, так и детальные нормы
расхода материалов, энергии, использования
оборудования и т. д.
2. Методы решения транспортной задачи.
Транспортная задача (классическая) - задача об оптимальном плане перевозок однородного продукта из однородных пунктов наличия в однородные пункты потребления на однородных транспортных средствах (предопределённом количестве) со статичными данными и линеарном подходе (это основные условия задачи).
Для классической транспортной задачи выделяют два типа задач: критерий стоимости (достижение минимума затрат на перевозку) или расстояний и критерий времени (затрачивается минимум времени на перевозку).
Проблема была впервые формализована французским математиком Гаспаром Монжем в 1781 году . Основное продвижение было сделано на полях во время Великой Отечественной войны советским математиком и экономистом Леонидом Канторовичем . Поэтому иногда эта проблема называется транспортной задачей Монжа - Канторовича .
Производственная функция – технологическая зависимость между затратами ресурсов и выпуском продукции.
Если выражать формально, то производственная функция выглядит следующим образом:
Допустим, что производственная функция описывает выпуск продукции в зависимости от затрат труда и капитала, то есть рассмотрим двухфакторную модель. Одно и то же количество продукции можно получить при различных сочетаниях затрат этих ресурсов. Можно использовать небольшое количество машин (т. е. обойтись небольшими затратами капитала), но при этом придется затратить большое количество труда; можно, напротив, механизировать те или иные операции, увеличить количество машин и за счет этого снизить затраты труда. Если при всех таких сочетаниях наибольший возможный объем выпуска остается постоянным, то эти сочетания изображаются точками, лежащими на одной и той же изокванте . То есть изокванта – это линия равного выпуска или количества. На графике x1 и x2 – это используемые ресурсы.
Зафиксировав другое количество произведенной продукции, получим другую извокванту, то есть у одной и той же производственной функции имеется карта изоквант
.
Свойства изоквант:
Рассмотрим (замещение ТРУДОМ КАПИТАЛА). То есть, от какого количества капитала готов отказаться производитель, ради получения 1 единицы труда. Необходимо доказать, что данный показатель убывает. 
)
Но так как Q=const, следовательно, dQ=0
Как известно, предельный продукт труда убывает (так как рациональный производитель работает во второй стадии производства), следовательно, с увеличением труда MPL будет убывать, а MPK увеличиваться, так как количество капитала уменьшается, следовательно, будет убывать.
Экономическая причина уменьшения MRTS состоит в том, что в большинстве отраслей факторы производства не являются полностью взаимозаменяемыми: они и дополняют друг друга в производственном процессе. Каждый фактор может делать то, что не может сделать или может сделать хуже другой фактор производства.
Эластичность замещения факторов производства - применяемый в экономической теории показатель, показывающий на сколько процентов необходимо изменить отношение факторов производства при изменении их предельной нормы замещения на 1 %, чтобы объём выпуска оставался неизменным.
Определим предельную норму замещения капитала трудом при технологии 
Тогда из предыдущего билета следует:
При графическом построении MRTS соответствует тангенсу угла наклона касательной к изокванте в точке, указывающей необходимые объемы труда и капитала для производства заданного объема продукции.
При заданной технологии каждой величине капиталовооруженности труда (точке на изокванте) соответствует свое соотношение между предельными производительностями факторов производства. Иначе говоря, одной из специфических характеристик технологии является то, как сильно меняется соотношение предельных производительностей капитала и труда при небольшом изменении капиталовооруженности, то есть количества используемого капитала. Графически это отображается степенью кривизны изокванты. Количественной мерой этого свойства технологии является эластичностьзамещенияфакторовпроизводства, которая показывает, на сколько процентов должна измениться капиталовооруженность труда, чтобы при изменении соотношения производительностей факторов на 1% выпуск остался неизменным. Обозначим ; тогда эластичность замещения факторов производства
при
Q
=
const
Вот это логарифмическое представление. Пздц)
Обозначим - предельную норму замещения -го фактора -ым фактором, а - отношение количества этих факторов, используемых в производстве. Тогда эластичность замещения будет равна:
При этом можно показать, что
Единственное, чего не смог найти – это вывод вот этой «…».
Кривизна изокванты иллюстрирует эластичность замещения факторов при выпуске заданного объема продукта и отражает то, насколько легко один фактор может быть заменен другим. В том случае, когда изокванта похожа на прямой угол, вероятность замещения одного фактора другим крайне невелика. Если же изокванта имеет вид прямой линии с наклоном вниз , то вероятность замены одного фактора другим значительна. (подробнее смотри про разные виду функций в пятом билете)
Более того, когда изокванта непрерывна, то она характеризует гибкость технологии. То есть у фирмы есть огромное количество вариантов производства.
Для отменного понимания вот этого дерьма, ознакомься с 5ым, там все збс прописано.
Совершенная взаимозаменяемость ресурсов или линейная производственная функция
Если ресурсы, используемые в процессе производства, являются абсолютно заменяемыми, то постоянна во всех точках изокванты, а карта изоквант имеет вид как на рисунке 14.2. (Примером такого производства может служить производство , допускающее как полную автоматизацию, так и ручное изготовление какого-либо продукта).
Q=a*K+b*L, где K:L=b/a –пропорция замещения одного ресурса другим(b-точка пересецния Q1 оси ОК, a- оси OL)
Постоянная отдача от масштаба, эластичность замещения ресурсов бесконечна, MRTSlk=-b/a, эластичность выпуска по труду – в, по капиталу – а.
Фиксированная структура использования ресурсов, она же функция Леонова
Если технологический процесс исключает замещение одного фактора на другой и требует использование обоих ресурсов в строго фиксированных пропорциях, производственная функция имеет вид латинской буквы, как на рисунке 14.3.
Примером подобного рода может служить работа землекопа (одна лопата и один человек). Увеличение одного из факторов без соответствующего изменения количества другого фактора нерационально, поэтому технически эффективными будут лишь угловые комбинации ресурсов (угловая точка - точка, где пересекаются соответствующие горизонтальная и вертикальная линии).
Q=min(aK;bL);Постоянная отдача от масштаба, K:L=b:a пропорция дополнения, MRTSlk=0, эластичность замещения 0, эластичность выпуска 0.
Функция Кобба-Дугласа
A-характеризует технологию.
Эластичность замещения факторов может быть любой, отдача от масштаба (1-постоянная, меньше единицы – убывающая, больше единицы возрастающая), эластичность выпуска по факторам производсвта для капитала – альфа, для труда –бета, эластичность замещения факторов 
Функция CES
Функция CES (CES - англ. Constant Elastisity of Substitution) - применяемая в экономической теории функция, обладающая свойством постоянной эластичности замещения. Иногда она используется также и для моделирования функции полезности. Данная функция применяется в первую очередь для моделирования производственной функции. Некоторые другие популярные производственные функции представляют собой частные или предельные случаи данной функции.
Отдача от масштаба зависит от : больше 1, возрастающая отдача от масштаба, меньше 1 – убывающая отдача от масштаба, равно 1 – постоянная отдача от масштаба.
ДЛЯ ДАННЕОГО БИЛЕТА Я НЕ СМОГ НАЙТИ ЭЛАСТИЧНОСТЬ ВЫПУСКА ВООБЩЕ НИГДЕ НОРМАЛЬНУЮ
Альтернативные издержки возникают в мире ограниченных ресурсов, и поэтому все желания людей не могут быть удовлетворены. Если бы ресурсы были безграничны, то ни одно действие не осуществлялось бы за счет другого, т. е. альтернативные издержки любого действия были бы равны нулю. Очевидно, что в реальном мире ограниченных ресурсов альтернативные издержки положительны.
Опираясь на понятие альтернативных издержек, можно сказать, что экономические издержки - это те выплаты, которые фирма обязана сделать, или те доходы, которые фирма обязана обеспечить поставщику ресурсов для того , чтобы отвлечь эти ресурсы от использования в альтернативных производствах.
Эти выплаты могут быть либо внешними, либо внутренними.
Внешние издержки представляют собой плату за ресурсы (сырье, топливо, транспортные услуги – все то, что фирма не производит сама для создания какого-либо товара) поставщикам, не принадлежащим к числу владельцев данной фирмы.
Кроме того, фирма может использовать определенные ресурсы, принадлежащие ей самой. Издержки на собственный и самостоятельно используемый ресурс представляют собой неоплачиваемые, или внутренние, издержки. С точки зрения фирмы эти внутренние издержки равны денежным платежам, которые могли бы быть получены за самостоятельно используемый ресурс при наилучшем - из возможных способов - его применении.Внутренние издержки включают также нормальнуюприбыль как минимальное вознаграждение предпринимателя, необходимое для того, чтобы он продолжал свое дело и не переключился на другое. Таким образом, экономические издержки выглядят так:
Экономические издержки = Внешние издержки + Внутренние издержки (включая нормальную прибыль)
Изокоста – прямая, показывающая все комбинации факторов производства при фиксированном объеме общих затрат.
Набор изоквант отдельной фирмы (карта изоквант) показывают технически возможные комбинации ресурсов, обеспечивающие фирме соответствующие объемы выпуска.
При выборе оптимальной комбинации ресурсов производитель должен учитывать не только доступную ему технологию, но и свои финансовые ресурсы , а также цены на соответствующие факторы производства .
Совокупность этих двух факторов определяет область доступных производителю экономических ресурсов (его бюджетное ограничение).
Бюджетное ограничение производителя может быть записано в виде неравенства:
P K *K+P L *L TC, где
P K , P L -цена капитала, цена труда;
TC – совокупные издержки фирмы на приобретение ресурсов.
Если производитель (фирма) полностью расходует свои средства на приобретение данных ресурсов , получаем следующее равенство:
P K *K+P L *L=TC
На графике изокоста определяется в осях L,K, поэтому для построения, удобно привести равенство в следующий вид:
–уравнение изокосты.
Наклон линии изокосты определяется отношением рыночных цен на труд и на капитал: (- P L /P K)
K
L
С помощью технологических множеств моделируются производственные процессы, которые осуществляются производственной системой. У каждой системы есть входы и выходы:
Производственный процесс представляется как процесс однозначного преобразования факторов производства в продукты производства в течение заданного интервала времени. За этот интервал времени происходит полное исчезновение факторов и появление продуктов.
При таком моделировании – преобразование факторов в продукты – полностью скрыта роль внутренней структуры производственной системы, ее организации и методов управления производства.
Наблюдателям доступна информация о состоянии входов и выходов системы. Эти состояния определяются, с одной стороны, точкой в пространстве товаров и факторов, а с другой, состояние выходов определяется точкой в пространстве выходов.
Модели пространства включают в себя множество факторов пространства, множество параметров пространства и множество доступных технологий.
Технология – это технический способ преобразования факторов производства в продукты.
Технологическим процессом называют упорядоченный набор двух векторов , где – вектор факторов производства, – вектор продуктов. Технологический процесс является простейшей моделью пространства, которая задается от ряда элементов:
Таким образом, технологический процесс описывается набором из (n+ m) чисел: .
Например, возьмем компьютер типа А и , т.е выпускается один компьютер, тогда этот технологический процесс описывается 7+1=8 числами.
В практике моделирования реальных производственных систем в качестве первого приближения используется гипотеза линейных технологий.
Линейность технологий предполагает увеличение продуктов V при возрастании наборов факторов U .
Рассмотрим основные свойства технологических процессов:
1. Подобие.
Технологический процесс подобен , т.е. ~ , если выполняется условие: 
, которое означает, что - это тот же технологический процесс, но протекающий с интенсивностью :
Для подобных процессов выполняется система равенств:
Подобные процессы лежат на одном луче технологии производства.
2. Различие.
Различные технологические процессы лежат на различных лучах и не могут быть преобразованы друг в друга с помощью умножения на положительное число.
3. Составные технологические процессы.
Процесс называется составным, если существуют и , что .
Процесс, который не является составным, называют базовым.
Луч, проходящий через начало координат в направлении базового процесса, называют базовым лучом. Каждому базовому лучу соответствует базовая технология, а все точки базового луча отражают подобные технологические процессы.
По определению базовый технологический процесс не может быть выражен через линейную комбинацию других технологических процессов.
В положительном октанте можно разместить гиперплоскость, отсекающую единичные отрезки от каждой координаты.
Это позволяет наглядно представить технологии производства.
Покажем возможные пересечения гиперплоскости технологическими лучами.
1) Единственная доступная технология – базовая.
2) Появление новой дополнительной базовой технологии.
3) Линейная комбинация двух базовых технологий.
4) Третья дополнительная базовая технология.
5) Возможность формирования технологий, лежащих внутри треугольной области.
6) Две треугольные области с шестью базовыми технологиями.
7) Объединение технологий – выпуклый шестиугольник.
8) Возможен случай с бесконечным числом базовых технологий.
В этих графических образах все внутренние и граничные точки, за исключением вершин, отражают составные технологические процессы, а множество всех технологических процессов называется технологическим множеством Z .
Технологические множества обладают следующими свойствами:
1. Не осуществление рога изобилия.
(Ø, V) Z , следовательно, V= Ø .
(Ø, Ø) Z означает бездействие.
2. Технологическое множество выпукло, а процессы, лучи которых лежат на границе этого множества, могут смешиваться друг с другом.
3. Технологическое множество ограничено сверху в силу ограниченности экономических ресурсов.
4. Технологическое множество замкнуто, и эффективные технологии лежат на границе этого множества.
Специфическим свойством технологических множеств является существование неэффективных процессов.
Если существует , то возможны любые технологические процессы, удовлетворяющие условию (для факторов), (для продуктов).
Существует ( ,Ø) Z , что означает полное уничтожение факторов производства. В нем вообще не возникают продукты.
Технологический процесс более эффективен, чем , если и/или .
ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ФУНКЦИЯ.
Математическое описание эффективного процесса может быть преобразовано в производственную функцию путем агрегирования факторов производства, а также агрегирования продуктов производства в единственный продукт.
Характеризуется переменными, которые принимают активное участие в изменении производственной функции (капитала, земли, труда, времени). Нейтральный технический прогресс определяется такими техническими изменениями (автономного или материального вида), которые не нарушают равновесия, то есть экономически и социально безопасны для общества. Представим все это в виде схемы (см. схему 4.1.).
Рассмотрены основные типовые модели оптимизации производственной деятельности фирмы с линейным технологическим множеством, статистические и динамические модели планирования производственных инвестиций , вопросы экономико-математического анализа хозяйственных решений на основе использования аппарата двойственных оценок . Изложены основные подходы к проблематике оценки качества производственных инвестиций , а также методы и показатели оценки их эффективности.
Рассмотрим очень важный для модельных приложений случай, когда технологическое множество производственной системы является линейным выпуклым множеством , т. е. модель производства оказывается линейной.
Замечание. Совместно предположения 2.1 и 2.2 означают, что технологическое множество является выпуклым конусом . Предположение 2.3, выделяющее линейные технологии, означает, что этот конус является выпуклым многогранником в полупространстве
Можно ли утверждать, что в экономической области фирмы с линейным технологическим множеством производственная функция является монотонной Как связано определение производственной функции с критерием оптимальности в задаче Канторовича
Соотношение (3.26) дает возможность указать конкретный вид производственной функции для модели производственной системы с линейным технологическим множеством (рассмотренная выше модель (1.1)- (1.6))
Общее технологическое множество производственного элемента может быть получено как результат объединения всех допустимых с точки зрения условий (2.1.2) и (2.1.3) векторов затраты - выпуск
Описание технологического множества однопродуктового элемента, приведенное в предыдущем параграфе, является простейшим. Учет дополнительных свойств технологии элемента приводит к необходимости дополнить его рядом черт. Некоторые из них мы рассмотрим в этом параграфе. Конечно, приводимые рассмотрения не исчерпывают всех имеющихся в этом направлении возможностей.
Сепарабельная выпуклая модель производства. Учет фактора нелинейности в описанной в предыдущем примере модели ограничений производства приводит к нелинейной сепарабельной модели многопродуктового элемента. Учет нелинейности осуществляется путем введения нелинейных сепарабельных производственных функций . Технологическое множество многопродуктового элемента с такими производственными функциями имеет вид
В рассмотренных технологических моделях производственных элементов описание технологического множества дается путем задания множества допустимых затрат и множества допустимых выпусков ду каждого уровня затрат. Такого рода описания удобны в задачах типа оптимального распределения ресурсов , в которых при заданных уровнях потребления ресурсов приходится определить допустимые и наиболее эффективные (в смысле того или иного критерия) уровни выпуска. Вместе с тем на практике (особенно в планируемой экономике) встречается также своего рода обратная задача , когда уровень выпуска продукции элементами задан планом и необходимо определить допустимые и минимальные уровни затрат элементов . Задачи такого рода могут быть условно названы задачами оптимального выполнения плановой программы выпуска. В таких задачах удобно применить обратную последовательность описания технологического множества производственного элемента сначала задавать множество U допустимых выпусков и g= U, а затем для каждого допустимого уровня выпусков - множество V (и) допустимых затрат v Е= V (и).
Общее технологическое множество Y производственного элемента при этом имеет вид
На рис. 3.4 этому ограничению удовлетворяют все точки технологического множества, расположенные выше отрезка ЕС или лежащие на нем.
В большей части оригинальным является и материал 4.21. Оценка эффективности рыночных механизмов , обеспечивающих существование единого равновесного управления, проводилась в работах . Материал 4.21 является расширением этих работ. Рассмотрение схемы аукциона в рыночной системе проводится согласно . Известной моделью, рассмотренной в качестве примера в этом параграфе, является модель рыночной экономики. Подробное ее рассмотрение можно найти, например, в работах . В 4.21 мы предполагали, что рыночное равновесие существует. Как показывает рассмотрение схемы аукциона в рыночной системе , это положение может не всегда иметь место. Рассмотрение вопросов, связанных с существованием равновесия в рыночных моделях ,- один из центральных вопросов математической экономики . Применительно к моделям конкурентной экономики существование равновесия установлено рядом авторов при различных предположениях . Обычно доказательство предполагает выпуклость функций полезности (или предпочтений) потребителей и технологических множеств производителей. В приводится обобщение модели Эрроу - Дебре на случай континуума игроков. При этом удалось отказаться от предположений о выпуклости функций предпочтений потребителей.
Каждый производитель (фирма) j характеризуется технологическим множеством Y. - совокупностью технологически допустимых л-мер-ных векторов затрат - выпуска их положительным компонентам соответствуют выпускаемые количества, а отрицательным - затрачиваемые. Предполагается, что производитель выбирает вектор затрат - выпуска так, чтобы получить максимальную прибыль. При этом он, как и потребитель, не пытается влиять на цены, принимая их заданными. Таким образом, его выбор является решением следующей задачи
Из (16) также следует слабая аксиома выявленного предпочтения . Неравенство (16) заведомо выполняется, если спрос каждого из потребителей строго монотонен при этом на технологические множества не накладывается особых требований. Интерпретация условия монотонности и ряд связанных с ним результатов приведены в . Для гладких функций избыточного спроса единственность равновесия обеспечивается также условием доминирующей диагонали . Это условие означает, что модуль производной спроса на каждый продукт по цене этого продукта больше суммы модулей всех производных спроса на тот же
Модель производителя. При выборе объемов производства yj = у к каждая фирма j e J ограничена своим технологическим множеством YJ с 1R1. Эти множества допустимых технологий можно задавать в частности в виде (неявных) производственных функций fj(yj) YJ = УЗ е Rl /,(%) > 0 . Другое удобное представление (когда производится только один товар h) - в виде явной производственной функции у 0.
Технологическое множество и его свойства
ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЕ МНОЖЕСТВО - см. Производственное множество , Технологический способ.
Описание одного конкретного вида технологического множества рассмотрим для производственного элемента , потребляющего несколько видов затрат и выпускающего продукцию только одного вида (однопродуктовый производственный элемент). Вектор состояния такого элемента имеет вид yt- (vtl, viz,. . . , v. x, ut). Известный способ описания технологического множества однопродук-тового элемента основывается на понятии производственной функции и заключается в следующем.
Обычно предполагается, что технологическое множество элемента является выпуклым, замкнутым и содержащим нулевой элемент подмножеством евклидового пространства Ет размерности т О Е Y d Em.
Рассмотренные в предыдущем параграфе методы представления технологических множеств производственных элементов характеризуют их свойства, но не задают описание в явном виде. Для однойродуктовых производственных элементов явное описание технологического множества можно задать, используя понятие производственной функции . В 1.2 мы уже касались этого понятия и его использования, в этом параграфе рассмотрение этих вопросов будет продолжено.
Использование однопродуктовых производственных функций для описания технологического множества многопродуктового элемента. Если многопродуктовый элемент производит товых видов продукции, потребляя при этом /гевх видов затрат , то его векторы затрат и выпуска имеют вид v = (i>i, vz,. . ., Ут х) и и = (м1г w2,.. ., итвых) соответственно.
Ему соответствует часть технологического множества, ограниченная кривосторонним треугольником AB (отмечена штриховкой на рис. 3.4).
Модель децентрализованной экономики Эрроу - Деб-ре - Мак-Кснзи. Общая модель децентрализованной экономики описывает производство, потребление и децентрализованный
